“数学是不以‘有用’为研究的原点， 实际上却又是极为有用的学科。”

田刚院士2014年1月14日在《光明日报》上发表的《数学有用》这样写道。数学既是古老的，人类文明早期就发展出了计数法；又是现代的，很多数学发现超前于时代，在数十年乃至上百年后才体现出应用价值。

很多数学史上的重要问题依然悬而未决：第一次对毕达哥拉斯定理（勾股定理）的证明是什么时候？《几何原本》是什么时候成书的？许多中国古典数学成就也有待论证和研究。在理解数本身之外，数的发展历程和用途也非常值得研究。

Part 01

数学的抽象美

古代的计数总是与实际物体相连。公元前3世纪初期，数字从具体物品中、从现实中抽离出来。在这个重大的飞跃中，数字获得了新的生命形式。

抽象化的数学被古希腊哲学家视为神圣的。毕达哥拉斯提出“数是万物之本”，这个数指的是来自古代人观察测量的有理数。后来毕达哥拉斯学派的一名学生，从正方形的边长与对角线不可公度中发现了无理数被恐慌的同伴扔到海中。但数学的发展并不以人的意志为转移，圆周率等越来越多的无理数被发现。此后，人们又陆续发现了复数、四元数等等。这些数后来都广泛应用于实际。

毕达哥拉斯

素数研究是数学的核心分支——数论的永恒课题。素数为什么这么重要呢？因为它是所有数的“原子”， 任何一个大于1的整数都可以写成有限多个素数的乘积。人们很早就发现，有无穷多个素数。最早的证明出现在《几何原本》中，也可从欧拉乘积式中推出：

素数又是如何分布的呢？数学家很早就有素数定理的猜想：如果以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)~x/ln(x)。当x越来越大时，如果x是1亿，那么不超过x 的素数有500多万。如果x是100亿，那么不超过x 的素数有4亿多。1896年，这一猜想被法国数学家阿达马和瓦莱布桑各自独立证明；1949年，塞尔伯格和埃尔德什分别独立地给出了素数定理的完全“初等”的证明，赛尔伯格因此而获得了1950年的菲尔兹奖。既然第一项有规律，后面的项是不是也有规律？这就是“黎曼猜想”：关于黎曼ζ函数的零点分布。

除黎曼猜想之外，许多著名猜想都与素数有关，如被誉为“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。至今最好的结果是1966年陈景润先生证明的“1+2”：任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和。

素数研究虽不以有用为起点，但却成为了现代信息安全技术的基础。密码学广泛应用在我们日常生活中，包括自动柜员机的芯片卡、电脑使用者存取密码、电子商务等等。它使用了大量的数学工具。比如电子商务中密码学经典的RSA算法，它的安全性源自素数分解的困难：两个素数的乘积很容易找到，但反过来，从乘积倒推素数因子却并不容易，随着数字增大越来越困难。信用卡使用的RSA密码包含200位数的超大数字，恰好是两个素数的乘积。如要破解这个密钥，就得知道乘积恰好等于200位数的两个素数，即使通过最强大的计算机来运算，也要花费几百万年的时间。

在数学发展中更多的数被引进，如由椭圆曲线定义的抽象数。两千多年前人们就发现勾股定理有整数解，但费马在17世纪提出，如果n >2, 则没有非平凡整数解，这就是著名的“费马大定理”，但费马并没有给出证明。1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明了费马猜想，被公认为20世纪最伟大的数学成就之一。

椭圆曲线

怀尔斯的证明用到了大量现代的数学工具和技巧，其中最关键的是椭圆曲线。椭圆曲线实际上就是三次曲线定义的零点集，和数论之间有着深刻联系。对椭圆曲线的研究是从数学固有的基本问题出发，但引进的虚拟数后来在实际中发挥了重要作用。近十几年来，利用椭圆曲线的密码系统(ECC, Elliptic Curve Cryptography)越来越受到重视，在卫星通信等领域发挥了重要作用。

“几何(Geometry)”一词原指如何测量土地面积的学问，早期几何学是为了满足在测绘、建筑、天文和工艺制作中的实际需要。数学逐渐形成独立的学科，是古希腊对世界的贡献。在公元前300年左右，欧几里得完成了《几何原本》一书。全书分13卷。有5条公理、5条公设、23 个定义和467个命题。欧几里得由公理、公设和定义出发，经过严格的演绎推导出命题，具有重要的方法论意义：《几何原本》建立的完整的演绎体系，后来被用到神学、法律等各个方面。

我国最早翻译《几何原本》的科学家徐光启说：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心; 学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”即读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考，所以全世界人人都要学习几何。当时徐光启在南京任闲职，与传教士利玛窦共同翻译。后来徐光启调到北京做官，翻译工作就搁置了。管理、学术都需要投入大量时间和精力，常常很难同时兼顾。

爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的：古希腊的(在欧几里德几何学中的) 形式逻辑体系；文艺复兴时期通过系统的实验有可能找出因果关系。”不少人认为文艺复兴就是大量优秀的艺术作品百花齐放，但其意义远不止于此，它还是理性思维和科学精神的复兴。

Part 02

数学的严谨美

数学结论最基本的要求是“正确”，无论多么显然的结论，都需要从已知的确定结论通过正确的推理得出，这是数学最显著的特征。

《几何原本》的第五条公设是“平行公设”:“通过一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。”这一公设没有前四条显而易见，能否作为定理呢？这个“平行线理论”引发了两千余年的争论，许多数学家投入了毕生心血。直到19世纪30年代，俄国罗巴切夫斯基、匈牙利的雅诺什发现了第五公设不可证明，创立了非欧几何学。但当雅诺什的父亲将成果寄给高斯时，才发现原来几十年前高斯就已经发现这一结果，只是怕遭到教会打击而没有公开发表。

后来，人们发现了越来越多的非欧几何，如球面几何、双曲几何等等。

M.C. Escher圆极 限 III，1959

1851年，高斯的学生黎曼创立黎曼几何，引进流形和度量的概念，证明曲率是度量的唯一内涵不变量，具有划时代的意义。黎曼几何在许多学科研究中被广泛应用，比如爱因斯坦运用黎曼几何创立了新的引力理论——广义相对论。宇宙一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空。1919年，爱因斯坦的理论在日全食实验中得到验证。

Part 03

数学的简洁美

爱因斯坦曾道:“美在本质上终究是简单性。”我们无法说清楚有多少凸多面体，但它们都必须服从简洁的欧拉公式：V（顶点） −E（边）+F（面） =2。这是拓扑学的基本原理。

拓扑学研究几何图形或空间在连续形变后的不变。2016年，诺贝尔物理学奖颁发给三位从事拓扑相变和拓扑物质形态研究的学者。几何体形变，但拓扑相不会改变。拓扑相还存在于三维材料中，这些拓扑材料有望在新一代电子器件和超导体中产生应用，以及在未来量子计算机方面有应用。

Part 04

数学的对称美

数学的对称美在生活中比比皆是。中国的建筑就很好地应用了数学的对称美，许多园林建筑都应用了这一点。

密铺，即用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙。任何三角形和凸四边形都可以密铺。但除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面。虽然正五边形不能密铺平面，但有的五边形可以密铺平面，至今已发现十五种五边形可密铺平面。

2015年，美国数学家发现第15种可密铺五边形

不过，如果采用多种不同的多边形进行密铺，就又有许多新的可能。这就是非周期性密铺。这一问题是1961年华裔数学家王浩在研究计算机理论中提出的。1976年，英国数学家彭罗斯构造出了最为经典的采用两种不同的菱形(36°/144°，72°/108°)的密铺图案。

阿拉伯世界将密铺视为神的意志的体现。如摩尔人在西班牙留下的格拉纳达红宫，采用各种几何图形的对称、旋转、平移。可以找到目前存在的17种类型的几何密铺。从建筑中能感受到人类对哲学和科学问题的思考，这可能也是旅行的意义所在。

北大的数学故事

01 中国现代数学的发端

现代数学作为一门学科进入中国教育体系，是伴随着中国从古典时代走向近现代而逐步实现的。鸦片战争引发了“洋务运动”，重视学习西方科学技术，设立的“同文馆”中有“天文算学馆”，后并入1898年设立的京师大学堂。

清末著名数学家李善兰被聘为京师大学堂首任算学教习。他创立的“自然数幂求和公式”等被称为19世纪中国数学界最重大的成就。李善兰靠自学读懂了徐光启和利玛窦合译的《几何原本》前六卷，并与传教士合作开始从事西方数学书籍的翻译工作，于 1856年完成后九卷的翻译。此时距徐光启翻译《几何原本》已经过去两百多年，中国数学已经远远落后于西方。

02 筚路蓝缕成就初见

1898年，京师大学堂成立。1904年，《钦定学堂章程》中规定了算学门的课程。

大规模选派人士赴日本、西欧各国留学，引进现代数学书籍及教学方法。

1912年，京师大学堂更名为北京大学。1913年，北京大学数学门招收新生，第一批新生只有2人。中国第一个现代大学数学系正式开始教学活动，主要学习日本和德国。北大校长蔡元培确定了“数学第一”传统：“治哲学文学应用科学者，都要从纯粹科学入手。治纯粹科学者，都要从数学入手。所以各系秩序，列数学系为第一系。”

1917年，数学门研究所成立。1918年，北大数学门与物理门联合发起组织北大数物学会，学生开始组织一些学术社团活动。1919年《北京大学数理杂志》出版发行，在艰苦环境下坚持两年，后因经费等原因被迫停刊。

数学系有着开门办学，重视国际交流的传统。1920-1921年英国著名哲学家、数学家罗素曾长时期在北京大学讲学，讲授当时兴起不久的数理逻辑。1920年7月1日，曾先后两次出任法国总理的著名数学家Paul Painlevé在北京大学做关于数学发展动态的演讲。北大授予他名誉博士学位，这是北大历史上首次授予名誉博士学位。1930年蒋梦麟出任北大校长，推行美国式办学方针。1930年获哈佛大学博士学位的江泽涵被聘为北大数学系教授，加强与欧美学术界交往。1932年，德国汉堡大学年轻的拓扑学家E·Sperner被聘为数学系研究教授。

抗战前夕北京大学数学系已形成了一支具有较强科研能力、能够进行较系统的大学数学教学的教师队伍。抗日战争全面爆发后，北大、清华、燕大三校数学系组成西南联合大学理学院算学系，于1938年春在昆明开始上课。艰苦的战争环境并未使算学系的工作停滞不前，广大师生同仇敌忾，科研与教学始终进行得有声有色，堪称中国现代数学史上的奇迹。

江泽涵先生坚持国际交流，对中国数学发展起到了重要作用。西南联合大学算学系人才济济，教授先后有姜立夫、杨武之、刘晋年、江泽涵、赵访熊、申又枨、曾远荣、程毓淮、蒋硕民、华罗庚、陈省身、许宝騄、郑之蕃、张希陆，副教授有赵淞，还有一批年轻有为的讲师助教。

在极为艰苦的条件下，西南联大以“刚毅坚卓”为校训，为中国数学的发展打下了坚实基础。课程设置与教学达到前所未有的高水平，教授们结合自己最新的研究工作开设选修课是算学系的一大特色：许宝騄开设了最早的应用数学课程“数理统计”，江泽涵开设“拓扑学”，华罗庚开设了“解析数论”、“连续群论”等，陈省身开设了“黎曼几何”、“射影微分几何”等。算学系还开设讨论班，采取学术讲演与讨论的形式。原三校数学系的教授互相促进，带动学生和青年教师较快地进入学术研究的前沿邻域，为进一步研究奠定了坚实基础。

1946年，北大复校。1947年，许宝騄谢绝国外大学邀请，回到北大数学系任教，不久被选为中央研究院院士。新中国建立后，江泽涵、许宝騄直接参与筹建中国科学院数学研究所，并与系内其他教员一道为制定中国数学科学的发展规划提出建议。

在1952年的院系大调整中，北大、清华和燕京大学三个数学系调整组建成新的北京大学数学力学系。原清华数学系主任段学复、燕京大学数学系主任徐献瑜等成为北大教授，还有从国外回来的廖山涛、董铁宝、钱学森等专家，数学力学系的师资力量大大增强。回顾历史，北大数学系的发展得益于很多客观因素。

50年代早期和中期实行全面向苏联学习的方针，设立数学和力学两个专业，使用翻译的苏联教材，采用莫斯科大学的教学大纲和计划。

在基础研究之外，北大数学系也会做应国家需求的研究。

北大为早期计算机研究作出了突出贡献。1958年，数学力学系建立了计算机实验室和风洞实验室，与中国人民解放军空军合作，自行设计研制了数字电子计算机“北京一号”。“红旗”计算机是北京大学自行设计的，由张世龙领导，王选和许卓群等数学力学系师生参与。当时设定的目标比苏联专家帮助研制的104机还高，于 1962年试算成功。上世纪六十年代，北大派周毓麟、江泽培等数学家参与“两弹一星” 研制，派多位数学教师支援兄弟高校建设。

七十年代，北大数学人就开展数字地震勘探技术研究，正交试验设计，“编码”研究，参加汉字排版自动化、百万次计算机研制、指纹识别等项目。1971年，闵嗣鹤等接受石油部物探局的任务，研究数字地震勘探技术，为石油部举办“全国高级科技人员训练班”，整理出版了 《地震勘探数字技术》，为国家石油勘探做出重要贡献。近年来在图像数据处理、运载火箭可靠性安全性评估、武器的毁伤效应评估等国防项目中取得突出成绩。

数学力学系为我国计算机科学的发展培养了大批人才。计算机文字信息处理专家王选也毕业于北京大学数学力学系，他是当代中国印刷业革命的先行者，被称为“汉字激光照排系统之父”。

1977年，中国恢复高考制度。80年代，北大数学系迎来发展的春天。这一时期在北大求学的校友包括田刚、张益唐、郁彬等。早期体制中，大学更重视教学，研究院更重视研究；80年代实行系所结合的体制，教学与科研并重。北大数学系以各种方式加强国际学术交流，将“派出去”——选派学生出国留学，与“请进来”——邀请国外教授来北大讲学相结合。

1980年，北大数学系积极参加和协助由陈省身先生负责的第一届“微分方程与微分几何国际学术讨论会”。1983年至1989年，北大数学系负责管理国家教育部与美国数学会合作的“陈省身项目”，选派学生赴美留学。1984年，北大数学系承办了由陈省身先生等倡议、教育部主办的第一届全国数学研究生暑期教学中心。1984年，段学复主持召开了北京国际群论讨论会，并主编了会议论文集; 程民德主持了分析学国际学术讨论会;江泽培主持召开了中日统计会议。此后，国际学术交流日趋活跃，北京大学数学系逐渐成为我国对外数学交流的中心之一。

1995年，北京大学数学科学学院成立。最初设4个系:数学系、概率统计系、科学与工程计算系、信息科学系。1997年成立金融数学系。北大数学学院还成为北大首个“理科基础研究和教学人才培养基地”。通过“211工程”立项，改善学院中心实验室等计算设备，增加图书和期刊购置。经国务院学位办公室批准，成为首批具有按照一级学科(学术)授予博士学位权的单位之一，在全国高校和科研院所中名列数学类榜首。

2002年，第二十四届国际数学家大会(ICM)在北京举行，这是ICM首次在发展中国家举办。时任国家主席江泽民出席开幕式，田刚应邀在大会上作一小时报告。

2005年，北京国际数学研究中心成立，以建成一所世界一流的数学研究机构，为中国培养新一代国际领军数学家为目标。这是一个体制内的学术特区：一方面可以帮助培养人才，凝聚向心力；另一方面可以带动原体制的改革，引进人才的标准也在不断改进。2017年秋，北京国际数学研究中心被国际专家一致评为世界一流数学中心。

80年代以来，中国数学培养了大批人才，其中有相当数量的人成长为活跃于国际数学界的著名数学家。除田刚、刘军、郁彬、 张益唐等国际数学界的领军人物外，还有宼昌星、 倪忆、许晨阳、刘若川、恽之伟、张伟、袁新意、 朱歆文、鲁剑锋、刘一峰、汪璐等一大批后起之秀。2017年12月3日，科学突破奖颁奖典礼在美国旧金山举行，北大数院校友恽之玮、张伟因为发现证明了函数域中的高阶Gan-Gross- Prasad猜想而获得了数学新视野奖。许晨阳也在2019年获得该奖。

在应用数学方面，北大数学也做出了重大贡献，年轻人才持续涌现。如研究随机过程与生物物理化学的葛颢，生物计算数学相关领域的张磊，计算数学相关领域的董彬等。

北京大学在中国数学发展中起了重要的引领作用。北大数学的队伍建设遥遥领先：建国后入学的毕业生中涌现出30多位两院院士。教育部长江学者27人，“国家海外高层次人才引进计划”学者28人。

北大数学的目标是建立世界一流的学科：一流的研究水平，一流的科研队伍、一流的人才培养。

“天道几何，万品流形先自守；变分无限，孤心测度有同伦。”这是北京国际数学研究中心的楹联，意即不管世界的规律如何，万事万物都会按照规律发展演化。而规律变化虽然无穷无尽，总有一些追寻科学真理的同伦。数学有着无限魅力，吸引了一代代有志之士研究探索。其他学科的研究者也可以跟数学合作，科学史、医学史中就涉及到许多数学问题。田刚教授鼓励大家共同努力，联合工作，来攻克这些问题。

图｜当代科技史课堂合影

《当代科技史》系列课程第十二讲

今晚6:40 北京大学校本部309

让我们跟随王扬宗老师一起

了解中国科技事业从民国到共和国的转变

纪要整理：贾雨心

配图：贾雨心张雪梅

编辑/摄影：张雪梅